>>103亀レス失礼します。
個人的おすすめはF2.0の明るい回転レンズを持つソニーDSC-F717（起動1.4秒）ですが
ちょっと古い機種のため、昨今のデジカメと比べたら液晶とかしょぼいし
ミニルクスより遥かにでかい…ということで却下。
とりあえず最近のコンパクト機で起動が速いものをいくつか挙げてみます。
・コニカミノルタDiMAGE X50（起動0.5秒）
ttp://konicaminolta.jp/products/consumer/digital_camera/dimage-x50/index.html
薄型軽量でお手軽感の高い機種です。
・コニカミノルタDiMAGE G530（起動0.8秒）
ttp://konicaminolta.jp/products/consumer/digital_camera/dimage-g530/
暗所にはあまり強くないようですが、明るい屋外では結構綺麗に撮れる模様。
絞り優先AEモード有。
・リコーCaplio R1（起動0.8秒）
ttp://www.ricoh.co.jp/dc/caplio/r1/
小型機にしては広角寄りの28-135mmなので、風景の中の猫を撮るのに良さげ。
フォーカスが速いのも売り。
・コンタックスU4R（起動0.9秒未満）
ttp://www.kyocera.co.jp/prdct/optical/contax/cx_camera/u4r/index.html
回転レンズ式なので、車の下にいる猫を狙ったり
じゃらしながら撮ったりするのに便利。
起動時間が1秒台くらいの機種になるとかなりたくさん選択肢があるみたいなので、
予算とか大きさとかの要望を書いたほうが具体的なおすすめが出てきやすいかも。
ちっちゃくて機能・画質・価格のバランスがまとまってるのは
ペンタックスOptioSシリーズ、キヤノンIXY DIGITAL 50あたりだと思います。